Comunicación de J. Mendoza a la Royal Society en junio de 1812 dando cuenta de un estudio geodésico realizado por J.

Estudio Introductorio y traducción por Mario Ruiz Morales
Instituto Geográfico Nacional y
Universidad de Granada

Palabras clave: historia de la ciencia, Royal Society, geodesia, cartografía

La actividad geodésica de José Rodríguez González (1770-1824) comienza en los albores del siglo XIX, con ocasión de su importante participación en el enlace balear dirigido por los franceses J. B. Biot y F. J. Arago, inmediatamente después de que ocupase de manera provisional la Cátedra de Matemáticas en la Universidad de Santiago, entre los años 1797 y 1799. Tras ganarla por oposición al año siguiente, solicitó viajar a París para ampliar sus estudios en el Colegio de Francia, conociendo entonces a unos hombres de ciencia tan ilustres como P. S. Laplace y J. B. Delambre, además de los ya citados Biot y Arago. Es muy probable que sus contactos con tales personajes fuesen los que despertaron sus inquietudes astronómicas y geodésicas, permitiéndole además dar clase de matemáticas en el Ateneo de Ciencias parisino, durante su segunda estancia en aquella capital.

Por iniciativa francesa es comisionado por el gobierno español en el año 1806, para que acompañase a Biot y Arago en la continuación de los trabajos propios del enlace geodésico entre las Islas Baleares y la costa levantina, que había iniciado P. F. A. Méchain años atrás. La meritoria participación de Rodríguez fue reconocida por la comunidad científica francesa, no en vano era calificado por Delambre como el sabio español. También hizo lo propio la Juntan Suprema Central, cuando al finalizar los trabajos en Mayo de 1808 le encargaron la recopilación de toda la información obtenida durante su misión, así como los posibles cálculos que ya hubiesen sido efectuados.

Nuevamente es comisionado por el gobierno, en el año 1809, para que examinara en Inglaterra los "Establecimientos Científicos de aquella nación y en particular los destinados a la práctica y enseñanza de la astronomía, y sus aplicaciones a la Geografía y Navegación". Todo indica que fue entonces cuando debió entablar algún tipo de relación con el Ordnance Survey, un organismo de reciente creación (1791) pero ya prestigioso. De ese modo pudo conocer las claves geodésicas de todas las operaciones llevadas a cabo en aquel país y en su colonia de la India. Es sabido el estudio crítico que realizó de las mediciones efectuadas por W. Mudge e I. Dalby, entre los años 1791 y 1802, en torno al meridiano de Arbury Hill (al Norte de Oxford). Tal estudio es el objeto central del trabajo que ahora se presenta, cuyo resumen fue leído ante la Royal Society por su amigo José de Mendoza y Ríos; el cual negoció la compra del gran telescopio Herschell para el Observatorio de Madrid. A Mendoza se deben también unas preciosas acuarelas que detallaban todas las características geométricas del instrumento, que han posibilitado la reciente y meritoria reconstrucción del mismo.

La lectura de Mendoza tuvo lugar el día 4 de junio de 1812, un mes antes de que Rodríguez regresase a Santiago de Compostela, con la intención de incorporarse a su cátedra. De esa forma retomó la enseñanza de las "Matemáticas Sublimes", hasta que en el año 1814 viaja de nuevo, en esta ocasión a Alemania, para perfeccionar sus conocimientos de Ciencias Naturales y Mineralogía, sobre todo. Allí estudió durante dos años, primero en la Escuela de Minas de Freyberg y después en la renombrada Universidad de Gottingen. No parece muy aventurado suponer que conociese a C. F. Gauss, máxime cuando Rodríguez había adquirido ya una sólida reputación geodésica y, como el sabio alemán, también dudaba ya de la idoneidad del elipsoide de revolución como forma real de la Tierra. En cualquier caso no se conocen pruebas documentales que avalen un posible intercambio de pareceres entre ambos personajes.

Finalizada su estancia en Alemania, se traslada de nuevo a París, también en Comisión de Servicio, para completar su formación geológica allí y en Italia. Al parecer fue en París donde le ofrecieron dirigir el Depósito Geográfico de Rusia, siguiendo el encargo del zar Alejandro I. Sin embargo, Rodríguez rechazó la invitación de residir en San Petersburgo y en la primavera de 1819 se traslada a Madrid, con el fin de hacerse cargo de la Cátedra de Astronomía. Dicha cátedra estaba integrada en el Museo de Ciencias Naturales y asociada a la reorganización (reconstrucción) del Observatorio Astronómico, que se encontraba en un estado deplorable desde que fuera arrasado por las tropas francesas.

La cátedra vacante de Santiago la ocupó, como es sabido, su discípulo Domingo Fontán, un cartógrafo insigne. Ya en los últimos años de su vida anuncia Rodríguez su intención de recorrer las Alpujarras, Valencia y Cataluña. A comienzos del verano de 1824 [1] se encontraba en Portugal, manifestando desde allí su débil estado y su deseo de regresar a su Galicia natal, donde falleció el día 30 de septiembre de ese mismo año.

La aportación geodésica más sobresaliente de este gallego genial fue su estudio, ya citado, de las mediciones de grado, cuyo rigor mereció la atención de la Royal Society de Londres. En efecto sus Philosophical Translations del año 1812 [ Vol. 1 (1800-1814), 435-436.] recogen la misma con el título Observations on the Measurement of three Degrees of the Meridian Conducted in England by Lieut.-Col. William Mudge. Su comunicación fue verdaderamente interesante y bien referenciada por geodestas como F. X. von Zach o el mismo Delambre. No obstante el lector puede extraer sus propias conclusiones, analizando la reproducción del original y su versión española que se acompañan tras la presente introducción. Al efectuar la traducción se ha procurado no desvirtuar demasiado el contenido original, de ahí su inadecuada puntuación (realizada con criterios diferentes a los actuales) y en muchos casos su literalidad.

Tras resumir la historia de las mediciones de grado realizadas en diferentes partes del mundo, el autor se percata de que subsisten pocas dudas sobre el aplastamiento polar de la Tierra, a pesar de que las medidas inglesas hayan proporcionado un resultado opuesto: el desarrollo del grado más septentrional es igual a 60766 fathoms [2], mientras que su homólogo del extremo meridional es de 60884.

El coronel Mudge halló el desarrollo de un grado de meridiano dividiendo el total medido por su amplitud angular, obtenida mediante observaciones astronómicas. José Rodríguez siguió un procedimiento diferente. El astrónomo y geodesta gallego adoptó como datos de partida la medida de la base, efectuada por Mudge, y los valores de los ángulos horizontales de los triángulos, obtenidos por medio de las observaciones de campo pertinentes. Asimismo supuso que la forma y dimensiones de la Tierra eran previamente conocidas, gracias a otras mediciones de grado, de ahí que dedujera que la discrepancia era debida a los ángulos obtenidos por Mudge en el transcurso de sus observaciones astronómicas.

En primer lugar se obtiene la equivalencia en toesas de la base de Mudge, hallando después su logaritmo, tomado como logaritmo de arco. El radio de ese arco lo supuso coincidente con el del modelo terrestre elegido, su amplitud angular, su logaritmo seno y la cuerda, se deducen apoyándose en la metodología impuesta por Delambre. Los ángulos horizontales medidos se corrigen convenientemente para convertir los triángulos planos en esféricos, cuyos lados son previamente calculados como logaritmos senos para obtener después los logaritmos de los arcos. Al ser conocidos sus acimutes, se determinan la amplitud angular y el desarrollo lineal de las partes de meridiano correspondientes. El autor expresa los resultados en forma de dos tablas, una relativa a la serie de triángulos orientales y otra a la serie occidental. Una vez calculada la amplitud total del arco, resulta ser de 2º 50´21.97´´, mientras que el valor obtenido a través de la observación es de 2º 50´23.35´´, resultando así una diferencia de 1.38´´.

Al analizar por separado las estimaciones de dos partes del arco, a uno y otro lado de la estación central de Arbury Hill, Rodríguez comprueba que la cantidad anterior es 4.7´´ mayor que la por él calculada, en cambio el último desarrollo calculado es 3.39´´ mayor que el deducido astronómicamente. De ahí su afirmación de que había un error próximo a los 5´´ en las observaciones astronómicas efectuadas en Arbury Hill, a pesar de la buena calida de los instrumentos empleados y de la destreza y celo del observador.

Procediendo de manera semejante a la anterior, con relación a la medida de Laponia, Rodríguez llega a un resultado que difiere en 0.6´´ del obtenido por J. Svanberg; con idéntico método deduce una diferencia de 0.53´´ para la medición efectuada en Bengala por el mayor W. Lambton. El sabio español aplicó también esa metodología al arco comprendido entre Dunkerque y París, encontrando en esta ocasión una discrepancia mayor: 2.60´´ más de lo obtenido por la observación. A parecido resultado llegó cuando analizó las medidas españolas efectuadas por Méchain entre Montjüic y Barcelona, comprobando que sus latitudes determinadas astronómicamente, tras largas series de distancias cenitales, se diferenciaban de los resultados obtenidos por el cálculo en unos 3.24´´.

La explicación para tales irregularidades se atribuyeron a las atracciones locales, Mudge opinaba concretamente que las diferencias deberían asociarse a las desviaciones de la línea de la plomada producidas por aquellas. En cambio Rodríguez explica en su detallado artículo que la causa ha de buscarse en las propias observaciones, más que en otras fuentes ajenas a las mismas, desde el momento en que las relativas a diferentes estrellas proporcionan resultados contradictorios en más de cuatro segundos.

¿Cual era pues la explicación más adecuada? Tanto Dalby como Mudge apuntaron en la dirección correcta cuando reflexionaron acerca de las desviaciones de la vertical y de las conocidas irregularidades de la Tierra. Ello no debe entenderse en modo alguno en detrimento del gran geodesta pontevedrés, puesto que con aquel estado de conocimiento no podía encontrarse una respuesta realmente convincente. Las líneas maestras de la solución definitiva no se marcaron hasta divulgarse las novedosas y geniales ideas de Gauss, llevadas a la práctica por F. R. Helmert, J. F. Hayford y T. N. Krasovsky, ya en pleno siglo XX. Tales ideas obligaron a tomar en consideración una nueva superficie de referencia que se llamó geoide a propuesta de J. B. Listing, uno de los alumnos distinguidos de Gauss.

El ingeniero geógrafo y astrónomo José maría Torroja Menéndez resumió perfectamente la cuestión, cuando afirmaba en 1959: "Si en el extremo de un arco de pequeña longitud se comparan sus coordenadas determinadas por observaciones astronómicas con las geodésicas, deducidas del cálculo de la triangulación, se encuentran con frecuencia diferencias notables, las llamadas «desviaciones locales de la vertical», demasiado grandes para que puedan ser debidas a errores de observación, ni puedan considerarse como consecuencia del cálculo geodésico, efectuado sobre un elipsoide que solo representa a la Tierra de una manera aproximada".

Con esos nuevos criterios presentes, las coordenadas geodésicas de Arbury, deducidas por Rodríguez o Delambre, podían ser diferentes entre sí al haber sido calculadas sobre elipsoides distintos y desde luego no tenían que coincidir con las astronómicas repetidamente calculadas. Así pues puede considerarse que la latitud de Arbury dada por Rodríguez, o por Delambre, era geodésica, de ahí que tuviese un valor diferente al astronómico, calculado independientemente por el equipo Mudge-Dolby y después por H. Kater. En cuanto a la forma de los meridianos, es notoria la perfecta geometría elíptica de los geodésicos y la clara irregularidad de los astronómicos.

[1]En esa época ya había sido elegido Diputado a Cortes por Galicia para el periodo 1821-1823. Caídos en desgracia los liberales, sufrió la inevitable depuración y como tantos otros defensores de la Constitución gaditana decidió exiliarse en Portugal, por elementales razones de prudencia.

[2] En el trabajo de Rodríguez se emplean indistintamente los fathoms, las toesas, las líneas y el metro, de manera que es razonable hacer un breve comentario sobre su interdependencia. El fathom era una medida inglesa de longitud similar a la toesa o a nuestra braza (» 1.67m). Su origen, como el de tantas otras, era anatómico. Concretamente marcaba la distancia entre los extremos de los dos dedos medios con los brazos totalmente extendidos. En la metrología inglesa el fathom equivalía a seis pies o a dos yardas, de modo que si la yarda se consideraba igual a 0.914m resultará que el fathom era próximo a los 1.83m, es decir un poco mayor que la braza y ligeramente inferior a la toesa. Hasta que se adoptó el Sistema Métrico Decimal las medidas geodésicas francesas se referían a la toesa de París, con la equivalencia siguiente: 1 toesa tenía bien 6 pies, bien 72 pulgadas o bien 864 líneas. En cuanto al metro, solo apuntaré que la Comisión creada al efecto por la Asamblea Constituyente francesa dictaminó, en el año 1799, que tenía 443.296 líneas, con lo que una toesa equivalía aproximadamente a 1.949 metros. En la actualidad el metro es una más de las unidades legales de medida integrada en el denominado Sistema Internacional de Unidades. Su última definición, que data del año 1983, es la siguiente: longitud del trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299792458 segundos.

Observaciones sobre la Medida de tres Grados de Meridiano realizadas en Inglaterra por el Teniente Coronel William Mudge. Por Don Joseph Rodríguez. Comunicado por Joseph de Mendoza Ríos, Esq. F.R.S.

La determinación de la forma y del tamaño de la Tierra ha sido desde siempre una constante preocupación del género humano, existiendo constancia de los varios ensayos realizados al respecto por astrónomos de la más remota antigüedad. Sin embargo los detalles de los métodos seguidos por ellos son extremadamente vagos y sus resultados expresados en unas unidades de medida de las que no puede obtenerse una equivalencia cierta con relación a las nuestras, tales hechos no nos proporcionan suficiente información acerca de la figura o dimensiones de nuestro globo.

Todavía no había renacido la ciencia en Europa, cuando dos grandes filósofos, HUYGHENS y NEWTON, trataron de esa cuestión, indicando que la figura de la Tierra sería determinada a la luz de las leyes de la mecánica.

Ellos demostraron que el movimiento de rotación daría lugar a diferencias entre la fuerza de la gravedad en diferentes latitudes, de modo que las partes de la Tierra próximas al ecuador estarían más elevadas que las que estuviesen cerca de los polos.

La hipótesis más simple, por ellos imaginada, fue la sunción de que el interior de la Tierra estaba compuesto del mismo tipo de materia, y que de su superficie coincidiría con la del esferoide generado por la revolución en torno a su eje. Esta hipótesis, adoptada por NEWTON solamente como una aproximación a la verdad, es, en efecto, perfectamente consistente con el equilibrio al que llegarían las partículas, en cierto estado de fluidez, poco tiempo después de iniciado su movimiento, y la excentricidad deducida de esta hipótesis es como mínimo muy parecida a la que se obtiene en la actualidad partiendo de la consistencia y estabilidad adquirida por la Tierra desde entonces.

Sin embargo, la homogeneidad del material terrestre es variable, de acuerdo con todas las observaciones geológicas, las cuales prueban con toda evidencia que al menos las últimas 5000 toesas de la corteza exterior están formadas por una inmensa masa de materia heterogéneas con densidad variable; y en el supuesto de una fluidez total se debería concluir que la densidad de las capas sucesivas iría incrementándose al aproximarnos al centro, que las capas más densas estarían sometidas a una fuerza centrífuga menor, y que en consecuencia la forma elipsoidal resultante por esa causa sería menos excéntrica que la que cabría esperar para su perfecto estado de homogeneidad.

El medio más simple, y también el más efectivo, de verificar la hipótesis relativa a la figura de la Tierra, es medir en dos hemisferios varios arcos de su meridiano, en diferentes latitudes y separados una cierta distancia. Es preciso dejar constancia, a este respecto, de que fue la Academia de Ciencias de París la que fijo la pauta, dando el impulso original para llevarlo a cabo y continuando con su decidido apoyo, desde los inicios de la operación, de todos los proyectos presentados, tan difíciles como decisivos.

Los resultados de las primeras medidas hechas sobre varios meridianos de diferentes partes del mundo fueron perfectamente acordes con las expectativas de HUYGHENS y de NEWTON, y también con los experimentos realizados para estudiar la oscilación del péndulo a diferentes latitudes; y ello llevó a la certeza de que la Tierra era aplastada en los polos; estableciendo por lo tanto una premisa extremadamente interesante en la filosofía natural.

Esos resultados, sin embargo, no permiten establecer con suficiente exactitud la precisión del grado de excentricidad, ni incluso las dimensiones globales de la Tierra, como naturalmente es de esperar cuando se considera la necesaria imperfección de los medios entonces empleados en dichas operaciones, y las grandes dificultades que se hubieron de vencer.

Con el fin de hacer una aproximación más fiable a las verdaderas dimensiones de la Tierra, y poder verificar las medidas pretéritas, es necesario en algunos casos proceder a repetirlas así como hacer otras en diferentes situaciones, las cuales podrían evidenciar mejores resultados proporcionales al progreso habido en los medios que son propios de las diferentes ramas de la ciencia.

Al comenzar la revolución francesa, fueron los hombres de ciencia los que lideraron un cambio imparable y necesario para que el conocimiento humano fuese receptivo a todas las novedades que se avecinaban; fueron ellos los que propusieron hacer una nueva medida de un arco de meridiano en Francia, con el propósito de establecer un nuevo sistema de pesas y medidas, el cual sería permanente al estar fundamentado en la naturaleza de las cosas.

Una comisión, compuesta por algunos de los más distinguidos miembros de la Academia de Ciencias, fue la encargada de planificar esas operaciones, que serían la base del nuevo sistema. Ellos inventaron nuevos instrumentos, nuevos métodos, nuevas fórmulas, dando lugar a una verdadera innovación científica.

DELAMBRE y MECHAIN, dos prestigiosos astrónomos, serían los encargados de llevar a cabo las observaciones astronómicas y geodésicas, que deberían continuarse hasta llegar a Barcelona, en España. Los detalles de sus operaciones, observaciones, y cálculos, fueron posteriormente examinados por un comité de hombres de ciencia, muchos de los cuales fueron extranjeros congregados en Paríos, quienes confirmaron sus resultados y sancionaron con todo su talento el crédito y autenticidad de sus conclusiones, como difícilmente se podría haber logrado por otros medios.

Por esas fechas, en el año 1806, los Sres. BIOT y ARAGO, miembros del Instituto Nacional, fueron enviados a España con el decidido propósito de prolongar las operaciones anteriores al Sur de Barcelona, enlazando con Formentera, la isla más meridional de las Islas Baleares. Afortunadamente esta última empresa, un complemento satisfactorio de la anterior, se completó durante el mes de mayo de 1808, en un periodo en el que las circunstancias políticas impedían que se pudiesen prolongar las observaciones, con objeto de verificar los resultados, midiendo para ello una base que debería ser independiente de la que se había establecido antes en Francia.

En el año 1801, la Academia Sueca de las Ciencias, animada por el éxito de la operaciones hechas en Francia, envió también a tres de sus miembros a Laponia, para verificar sus anteriores mediciones efectuadas en 1736, mediante nuevos métodos y empleando nuevos instrumentos, similares a los que recientemente habían sido usados en Francia, una colección de los cuales fue graciosamente regalada a la Academia Sueca. Los resultados de esta nueva operación, terminada en 1803, fueron dados a conocer por el Sr. SVANBERG, siendo extremadamente interesantes por su exactitud, por la perspicuidad de los detalles, e incluso por un cierto grado de novedad introducido con acierto en la presentación realizada por el erudito autor SVANBERG.

Estas nuevas medidas vinieron a confirmar, de un modo notable, los resultados generales de las que les habían precedido, y dan casi la misma proporción para la excentricidad y otras dimensiones del globo, de manera que no debería haber quedado la más mínima duda respecto de que la figura de la Tierra está achatada por los polos, si no hubiese sido por la realización de una cuarta medición en Inglaterra al mismo tiempo que la de Laponia, cuyos resultados eran completamente opuestos. Esta medida, sobre un arco con una amplitud de 2º 50', fue llevada a cabo por el Teniente Coronel MUDGE, miembro de la Royal Society, con unos instrumentos de una perfección nunca lograda por artista alguno, diseñados y construidos para ese propósito, por el celebrado RAMSDEN. Los detalles de las observaciones y otras operaciones del T.C. MUDGE, pueden consultarse en el volumen de las Memorias Filosóficas correspondientes al año 1803; y no puede más que admirarse la belleza y perfección de los instrumentos empleados por tan hábil observador, así como el exquisito cuidado mostrado en cada una de las fases del servicio que le había sido encomendado. En esta ocasión se emplearon luces de bengala, como blancos en varias estaciones, y su posición parece haber sido determinada con la más elevada precisión mediante el teodolito de RAMSDEN, el cual reduce todos los ángulos al horizonte, y con tal grado de fiabilidad, que el error en la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo raramente alcanza los tres segundos de grado, en todos los supuestos, y en general no más que una pequeña fracción de segundo.

Por consiguiente, las observaciones geodésicas se efectuaron con un grado de exactitud, que difícilmente puede ser superado; y si incluso se supusiera por un momento, que las cadenas empleadas en la medida de las bases hubiesen sido menos precisas que las reglas de platino empleadas en Francia, aún así, el rigor empleado en su construcción, el modo en que se usaron, y las precauciones tomadas al comprobar las medidas fueron tales que ningún error que pudiera haberse cometido en la longitud de la base, podría hacer perceptible alguna diferencia entre los lados de las series de triángulos, con un desarrollo total que no llega a los tres grados.

A pesar de todo, los resultados deducidos por el autor, a partir de esa única medida, le llevaron a suponer que la Tierra, en lugar de ser achatada por los polos, era más elevada en esa parte que en el ecuador, o al menos que su superficie no era la de un sólido regular. Puesto que las medidas de los diferentes grados de meridiano, halladas por el T.C. MUDGE, aumentaban progresivamente hacia el ecuador.

El autor incluyó en su Memoria la tabla que se acompaña, expresando en fathoms, los desarrollos de un grado a diferentes latitudes

La singularidad de esos resultados hace suponer que se deslizaron incorrecciones en las propias observaciones, o en el método de efectuar los cálculos. El autor nonos ha informado en su Memoria, sobre la fórmula que empleó en los cálculos del meridiano; pero se deduce, por la disposición de los mismos, que usó el método de las perpendiculares sin prestar atención a la convergencia de los meridianos; y aunque este método no es rigurosamente exacto y puede dar lugar a errores por exceso de algunos fathoms en el desarrollo total del arco, tiene un efecto despreciable sobre la magnitud de cada grado. Hay en cambio una hipótesis más probable y es que si los errores existen, son debidos a las observaciones astronómicas. No obstante, es prácticamente imposible determinar el número de errores, o en qué parte del arco se han cometido, salvo que se haga un cálculo directo y riguroso de las medidas geodésicas. Así fue como me vi obligado a efectuar nuevos cálculos, los cuales he realizado de acuerdo con el método y fórmulas, ideadas y publicadas por el Sr. DELAMBRE.

Los medios generalmente usados para hallar el desarrollo de un grado de meridiano, consisten en dividir la longitud total del arco en fathoms, por el número de grados y partes de grado deducidos mediante observaciones estelares; pero si esas observaciones son erróneas, por desajustes instrumentales, por atracciones parciales, o por cualquier otra causa accidental, entonces los grados de meridiano se verán afectados, sin posibilidad de descubrir tales errores operando de ese modo. Consiguientemente, es ineludible, en tal caso, emplear algún otro método, el cual puede servir para verificar las propias observaciones, detectando sus errores, si los hubiere, o como mínimo acotar sus límites más probables.

El objeto de mi comunicación es dar a conocer el resultado de los cálculos que he efectuado, a partir de los datos publicados por el T.C. MUDGE en las Memorias Filosóficas; y espero evidenciar, que la magnitud del grado de meridiano, correspondiente a la latitud media del arco medido por este hábil observador, coincida muy exactamente con los resultados de aquellas otras mediciones anteriormente referidas.

En el método del Sr. DELAMBRE no falta nada salvo los ángulos esféricos, es decir, los ángulos horizontales observados, corregidos por el error esférico. Sin embargo, para nuestro propósito, no se involucran los valores numéricos de los lados del conjunto de triángulos, sino solamente los de sus logaritmos. De ahí que, el logaritmo de la base medida en Clifton, como un arco dado por su seno en pies o fathoms, para que por medio de este último logaritmo, y de los ángulos esféricos de las series triangulares, obtengamos rápidamente, y con la facilidad de la trigonometría plana, los logaritmos de los senos de todos sus lados en fathoms.

Después de eso, es sumamente fácil convertirlos en logaritmos de las cuerdas de los arcos, con el propósito de aplicarlos para calcular los arcos sobre el meridiano o acimutes. Yo he preferido tomar los logaritmos de los lados como arcos, pues así los cálculos son mucho más simples y rápidos.

Cerca de Clifton, que está en el extremo septentrional del arco, con una altitud de 35 pies sobre el nivel del mar, se midió una base con una longitud de 26342.7 pies, mediante cadenas sometidas a una temperatura de 62º FAHRENHEIT, o 13 10/3 REAMUR.

Para reducir esta base a toesas, partimos de que la proporción del pie inglés al francés es de 4:4.263, de modo que si p indica una fracción del pie francés, correspondiente a la medida inglesa, entonces log p = 9,97234,46587, y log 26,342,7 = 4,42066,02860, por lo que el logaritmo de la base en toesas será igual a 3,61485,36943, y el número correspondiente de toesas es 4119,5 tomado a la misma temperatura, la cual corresponde a 16 (2/3)º del termómetro centígrado.

Esta base debemos considerarla como un arco circular, y es fácil reducirla al seno del mismo arco, por medio del método añadido como nota al final de esta memoria. El logaritmo del seno de la base en toesas resulta ser de 3,61485,35800. Apoyándose en tal cifra, y por medio de los triángulos esféricos indicados por el T.C. MUDGE en su trabajo, he hallado los logaritmos de los senos en toesas de todos los lados de los diversos triángulos, y seguidamente los he reducido a los logaritmos de los arcos de los mismos, lo cual me permitió completar el resto del cálculo. Con ello podemos calcular cualquier porción del meridiano, o intervalos sucesivos de diferentes estaciones expresadas en toesas, y en partes del círculo, o sus respectivos acimutes, teniendo siempre presente las correspondientes convergencias de meridianos.

El autor ha hecho observaciones para determinar la latitud de los dos extremos de su arco, y ha determinado también los acimutes de los lados exteriores en sus series de triángulos por medio de la máxima digresión de la estrella polar.

En los cálculos que he efectuado, empecé en Clifton dentro de Yorkshire, el extremo septentrional del arco, empleando los siguientes datos proporcionados por el T.C. MUDGE.

Acimut de Gringley, visto desde Clifton, y contado desde el Norte hacia el Oeste 256º 17' 25''.

Acimut de Heathersedge, visto desde Clifton, y contado en la misma dirección 118º 8' 8,81''.

Con esos datos, y las dos tablas de triángulos esféricos, y los logaritmos de sus lados expresados en arcos, se hallaron los intervalos entre Clifton y las dos estaciones Gringley y Heathersedge, en toesas y en segundos de grado, así como todas las correcciones aplicables a los primeros acimutes incrementados 180º, como acimutes de Clifton visto sobre el horizonte desde esos últimos lugares.

En la serie de estaciones sucesivas se empleó el mismo procedimiento, hasta llegar a Dunnose en la Isla de Wight, que es el extremo más meridional de las series.

De esa forma tenemos las latitudes y los acimutes de cada estación, a partir de las dos o tres anteriores, y en consecuencia se pueden verificar todos los cálculos realizados en su momento por el T.C. MUDGE.

Si hacemos ahora la media aritmética de las sumas que figuran en las dos tablas, resultará que la medida de la totalidad del arco, comprendido entre las estaciones de Clifton y Dunnose, será 162057.32 toesas, y 10221.972 segundos de grado, o 2º 50' correspondiente a la latitud media del arco total, igual a 57073.74 toesas, o 60826,34 fathoms, a la temperatura de 16 (2/3)º del termómetro centígrado, siendo la latitud 52º 2' 20''.

La estación de Arbury Hill se encuentra muy próxima al meridiano de Clifton y Dunnose, dividiendo el intervalo entre ellas en dos partes iguales. La medida de esa parte del arco, comprendida entre Arbury y Dunnose, es de 91679.47 toesas según la tabla, y de 9783,34' segundos, o 1º 36' 23,24'' según la división normal del círculo. La latitud media del arco es de 51º 25' 21''. Y la medida del grado correspondiente equivale a 57068.41 toesas.

Del mismo modo, la medida del arco comprendido entre Arbury Hill y el extremo septentrional de Clifton, es de 70377.85 toesas, y 4438.63 segundos, o 1º 13' 58,63''. Su latitud media es 52º 50' 32''. Y tenemos para un grado del meridiano, correspondiente a esa latitud, 57080,70 toesas.

Por lo que si dividimos la totalidad del arco en dos partes iguales, deduciremos los valores siguientes para el grado que corresponde a la mitad del todo y de sus partes.

Tales valores son, aparentemente, perfectamente conformes a la teoría, y con los resultados de otras mediciones que han sido efectuadas en diferentes lugares del hemisferio norte; no obstante, con la intención de enfocar la coherencia desde otro punto de vista, demostraré como se ajustan dichas estimaciones con las hipótesis elípticas, comparándolas con aquellas medidas de grado, de las cuales no existe duda alguna sobre su exactitud.

Si comparamos ahora los resultados de esos cálculos con los que fueron deducidos por el T. C. MUDGE a partir de sus observaciones, podremos ver la fuente probable de sus errores, que en mi opinión le han inducido a falsas conclusiones. Ya ha sido comentado, que la estación situada en Arbury Hill divide la totalidad del arco en dos partes casi iguales, y que prácticamente se encuentra en el meridiano de los dos extremos Dunnose y Clifton. Fue, con toda probabilidad, esta circunstancia la que llevo al autor a observar la latitud de Arbury Hill, ya que así tendría dos arcos parciales independientes del total y entre si.

Para determinar la amplitud angular de esos arcos, el T.C. MUDGE midió las distancias cenitales de varias estrellas en su culminación superior, por medio del gran sector cenital construido por RAMSDEN, con las mismas dificultades que había padecido con el teodolito. El T.C. MUDGE prestó toda la atención posible, y tomó todas las precauciones que podían esperarse de un observador con su experiencia y habilidad. Aún así, los resultados de sus observaciones a diferentes estrellas, difieren entre si cuatro segundos como mínimo. Pero haciendo la media de todas, se obtienen las dimensiones de los tres arcos, reducidos al centro de cada estación, que se indican seguidamente

Estos últimos valores son mayores que los resultados de mis cálculos, el primero en 10 toesas, el segundo en dos, el tercero en 8 toesas; y estas diferencias proceden de la convergencia de meridianos, la cual suponía el autor que seguramente podría despreciarse, y efectivamente tal hipótesis no daba lugar a diferencias perceptibles en el valor del grado sobre el meridiano. Para la diferencia de 8 toesas, en la distancia entre Dunnose y Arbury, resulta una diferencia de 5 toesas en el valor de un grado del arco, mientras que la diferencia de 10 en la distancia total de Dunnose a Clifton, da lugar a 3½ en la medida de cada grado de arco. De modo que, en lo que se refiere al origen del desacuerdo, los resultados del autor y los míos no difieren materialmente unos de los otros.

En primer lugar vemos que el arco más meridional entre Dunnose y Arbury es más pequeño de lo que podría parecer por el cálculo, tanto como 3,4'', y cuando esta diferencia se combina con un exceso de 8 toesas en las dimensiones lineales del mismo arco, la diferencia alcanza las 40 toesas para la longitud estimada de un grado. Ocurre lo contrario en la parte septentrional del arco, comprendido entre Clifton y Arbury Hill. Esta es 4,77'' mayor de lo que debía ser, por lo que las dimensiones lineales de un grado de meridiano son 62 toesas menores de lo debido. Por fortuna, sin embargo, el exceso del arco total es extremadamente pequeño, ya que no excede de 1,38'', lo que se traduce en una diferencia de 5 o 6 toesas en la longitud de un grado sobre el meridiano, correspondiente a la latitud media del arco examinado.

Teniendo en cuenta lo dicho hasta ahora, parece fuera de toda duda que es a los errores en las observaciones de la latitud, a los que ha de achacársele la apariencia de un aumento progresivo de los grados hacia el ecuador, tal como citaba el T.C. MUDGE en su trabajo; y que es especialmente en la estación intermedia de Arbury Hill, donde se produjeron errores de 5'' al observar las estrellas, a pesar de la bondad de los instrumentos, y la habilidad y esmero del observador. No obstante, antes de insistir más adelante sobre este particular, contestaré a la objeción que podría hacerse con relación a los principios del método que he seguido en esta Memoria.

Aquellos astrónomos que hasta ahora han llevado a cabo la medida de grados de meridiano, han deducido sus medidas simplemente dividiendo la magnitud lineal por el número de grados y minutos hallados por la observación de estrellas fijas desde los dos extremos del arco. Esto es por otra parte lo más simple que puede hacerse, teniendo la ventaja de ser independiente de la forma elíptica de la Tierra, especialmente en arcos de pequeña extensión. Los elementos dependientes de esa forma, son demasiado poco seguros para ser empleados en el cálculo de los intervalos angulares cuando las distancias entre estaciones sucesivas son cortas, incluso como medio de verificación, sin riesgo de cometer errores mayores de los achacables a las observaciones astronómicas. De acuerdo con ello no podrá hacerse uso de ello, sin peligro, en los casos en que se requiera una gran extensión.

Debo admitir lo ajustado de esta objeción, y debe por tanto analizarse la extensión a la que realmente se aplica en el presente trabajo.

En primer lugar, puedo suponer, que como consecuencia de algún fallo instrumental, con relación a la posición vertical, construcción, o algún desajuste accidental, hay un error de algunos segundos en las observaciones de las estrellas fijas. ¿Como se descubrirá esto? Esto no se ha hecho comparando el valor de un grado de meridiano, deducido de las observaciones, con los resultados de otras medidas en partes distantes del globo. Puesto que si hallamos que esos grados no concuerdan dando el mismo elipsoide, no podemos atribuir todas las diferencias a irregularidades de la Tierra, sin suponer algún error en el capítulo de la observación, del instrumento, o de otros medios empleados en el levantamiento. Sin embargo esto, en realidad, es lo que generalmente se ha hecho. Debe, no obstante, reconocerse que la mayoría de los observadores lo han hecho bien, como no podía ser de otra manera; pero se ha hecho demasiado énfasis en la bondad de sus instrumentos, sus medios y otras circunstancias. Es cierto que las irregularidades de la Tierra y las atracciones locales pueden ocasionar considerables discrepancias, que son inevitables; pero antes de decidir cuales son realmente las verdaderas causas del desacuerdo, debemos asegurarnos cuidadosamente que son unos y no otros.

No obstante, volvamos a nuestro asunto, de la medida inglesa. Si la incertidumbre que todavía subsiste, con respecto a la figura exacta de la Tierra y a sus dimensiones, da lugar a pequeños errores en el cálculo de la triangulación, la suma de esos errores se hallará al estimar todo el arco, y aumentará en la misma proporción en que lo haga la extensión del arco medido. Ahora bien, en la medida inglesa, hallamos exactamente lo contrario de lo anterior. Ya que la diferencia entre los resultados del cálculo y de la observación es solamente de 1,38'' sobre la totalidad del arco; sin embargo asciende a 4,77'' sobre uno de los arcos menores. De manera que, cualquiera que sea elerror que podamos suponer introducido en el cálculo al hacer una falsa estimación de la esfericidad terrestre, o de otros elementos empleados en el cálculo, es evidente que las distancias cenitales de las estrellas observadas en Arbury Hill están afectadas por algún error considerable, completamente independiente de esos elementos.

No se había medido aún el meridiano de Francia, cuando el Sr. DELAMBRE publicó y explicó, con admirable perspicuidad y elegancia, todas las fórmulas y métodos relativos al cálculo de elipsoides, que permitieron alos astrónomos, en general, el hacer uso de los elementos elípticos para verificar los resultados de sus observaciones. En el estado actual de la ciencia tales elementos son bien conocidos, y los errores que puedan originarse derivados de una incertidumbre de los mismos, no son tan considerables como generalmente se supone. Los únicos elementos independientes del cálculo son el aplastamiento y el diámetro ecuatorial, he empleado tres estimaciones diferentes del aplastamiento 1/330, 1/320 y 1/310, con el propósito de ver que efecto produce sobre ellos la incertidumbre que estamos considerando. Con respecto al radio del ecuador, está fijado con suficiente precisión a partir del arco que se extiende desde Greenwich a Formentera, correspondiendo a la latitud 45º 4' 18''. El valor del grado en toesas es 57010.5, y es muy probable que su incertidumbre sea menor que media toesa, como se deduce a partir del arco total de 12º 48' entre sus dos extremos, cuyas latitudes han sido determinadas con extremo cuidado y mediante un gran número de observaciones.

Seguidamente se relacionan los logaritmos del radio en el ecuador, que he empleado adaptados a cada tipo de aplastamiento, así como la estimación correspondiente a la totalidad del arco comprendido entre Clifton y Dunnose.

de modo que la mayor diferencia es de solo 0,38''. Supongamos que sea 0,4'', o incluso 0,5'', en el segundo cálculo han intervenido únicamente los triángulos occidentales, mientras que en el tercero lo han hecho los orientales; pero incluso entonces el error ocasionado por la incertidumbre en los elementos no llega a la mitad de la diferencia encontrada entre los resultados de los cálculos y de las observaciones de las estrellas fijas. Parece pues, que estos elementos de ningún modo pueden ser despreciados como método de verificación; y en realidad la cantidad de 0,38'' es tan pequeña, que es extremadamente difícil precisarla con los mejores instrumentos. De esto hallaremos pruebas adicionales más adelante; pero como esta discusión no es tal sin su empleo, entraré en algunas consideraciones al respecto.

La medición de Laponia fue realizada empleando un metro doble, y un círculo repetidor de BORDA, enviados por el Instituto Nacional de Francia. Con el fin de ver la exactitud del arco calculado en relación con el obtenido por medio de las observaciones de las culminaciones de la estrella polar, supuse un aplastamiento de 1/320, y un logaritmo del radio de 6,5147500 expresado en toesas y en números redondos. Con esos elementos, y con los datos hallados en el trabajo del Sr. SVANBERG, tenemos 5840,196'' para la serie de triángulos occidentales y 5840,138'' con los orientales. De manera que el arco medio calculado es 1º 37' 20,167'', mientras que el arco observado fue 1º 37' 19,566''. La diferencia es por tanto de 0,6'' para la totalidad del arco y 0,37'' para el grado medio, o bien 5.86 toesas por exceso en su desarrollo total. En pocas ocasiones se presentan cantidades tan pequeñas como esas, con lo que el acuerdo entre los resultados del cálculo y de la observación, prueba no solo la habilidad de los observadores y la exactitud de los instrumentos, sino también que los elementos elípticos empleados en el cálculo están suficientemente cerca de los verdaderos que deben ser empleados como referencia.

En el 8º volumen de las Investigaciones Asiáticas, publicado por la Sociedad de Calcuta, se incluyen los detalles de otra medición efectuada en 1802, por el Mayor WILLIAM LAMBTON en bengala, en la costa Coromandel. En esta empresa, que fue realizada con gran destreza y atención, el M. LAMBTON empleó luces de bengala como señales, cadenas para las medidas lineales, un teodolito y un sector cenital fabricado por RAMSDEN. La base medida fue de 6667,740 fathoms, una vez reducida al nivel del mar y a una temperatura de 62º FAHRENHEIT; y las estaciones estaban tan bien elegidas que cuatro de los lados de los triángulos casi estaban alineados y prácticamente paralelos al meridiano en el extremo Sur del arco, de modo que su suma excede en poco al total. Las longitudes de tales arcos en fathoms y reducidas al meridiano, figuran en la Memoria del Mayor LAMBTON:

AB-20758,13 latitud Norte de A 11º 44’ 52,59’’
BC-17481,245
CD-22237,04 latitud Norte de E 13º 19’ 49,018’’
DE-35246,43.

De tales datos dedujo elM. LAMBTON un grado de meridiano de 60435 fathoms, o 56762.3 toesas. Procediendo ahora como hicimos con la medición de SVANBERG, llegamos a un arco total de 1º 34'55,896''; de manera que la diferencia entre los resultados del cálculo y de las observaciones es solamente 0,532'' para todo el arco o 0,337'' para el grado medio. La hipótesis elíptica y la observación concuerdan más correctamente en este ejemplo, ya que la diferencia es bastante menor que la de Laponia, aunque los dos arcos tuvieran casi la misma extensión. Así que el grado de meridiano medido en Bengala, a una latitud de 12º 32' 21'' Norte, no puede suponerse que exceda al estimado por el M. LAMBTON en más de 5,22 toesas; siendo extremadamente difícil hablar con propiedad de cantidades tan pequeñas como esa.

El mismo observador midió también un grado perpendicular al meridiano, por medio de un gran lado de uno de sus triángulos que cortaba al meridiano casi en ángulo recto, habiendo observado además el acimut en sus dos extremos. Los datos que permiten comprobar sus resultados son estos:

Con tales datos, en el triángulo formado por el gran lado, el meridiano en B, y la perpendicular desde B al meridiano de A, tenemos que la cuerda de este último arco es igual a 290845,8 pies, siendo 290848,03 pies la longitud del propio arco. Aplicando el método del Sr. DELAMBRE, hallamos que el acimut en el extremo B es 2'' menor que el que fue observado; de modo que no tenemos motivos para suponer errores mayores de un segundo en la observación de cada acimut, pareciendo imposible lograr una exactitud mayor.

La diferencia de longitud entre los puntos A y B es 48' 57,36''. Con este ángulo y la colatitud de A, tenemos en el triángulo rectángulo en A, una extensión de 2867,330 segundos para el arco normal y dividiendo su longitud en pies por esa cifra, tendremos para el grado perpendicular al meridiano, en el extremo A, 60861,20 fathoms, o 57106,5 toesas. Ahora bien, estos valores son precisamente los que hallamos apoyándonos en la hipótesis elíptica, con un aplastamiento de 1/320 o 1/310; en resumen, la correspondencia entre la hipótesis y las medidas del M. LAMBTON es tan completa como se desee. Por otro lado, el M. LAMBTON obtuvo un grado sobre la perpendicular con un error por exceso de 200 fathoms, debido a una equivocación en su cálculo.

Finalmente, aplicaré el mismo método para ver el grado de acuerdo de la hipótesis elíptica con las últimas medidas realizadas en Francia, las cuales merecen toda la confianza con relación a los observadores que las han realizado y por los medios con que contaban para ello. Solamente he analizado el arco entre Dunkerque y el Panteón de París, a partir de los datos publicados por el caballero DELAMBRE en el "3^er Volumen de la Medida del Meridiano".

Empleé para ello los mismos elementos y cálculos similares a los efectuados en el arco inglés. El aplastamiento de 1/330da lugar a una diferencia entre los paralelos de 7883,615 segundos para la serie de triángulos oriental y de 7883,617 para la serie occidental. Como verdadera extensión del arco total se tomó 7883,616, la media de las dos cantidades anteriores.

Los otros dos elementos dan para esta cantidad 7883,621’’ y 7883,493’’, o 2º 11’ 23,6’’ y 23,49’’, como extensión calculada del arco. Como el arco observado fue 2º 11’ 19,83’’ según el Sr. DELAMBRE, y 2º 11’ 20,85’’ según el Sr. MECHAIN; resultará que la mínima diferencia entre el cálculo y la observación será 2,64’’. El Sr. DELAMBRE es de la opinión de que la latitud de Dunkerque, que supone de 51º 2’ 9,20’’ será disminuida; y que en realidad la distancia entre los paralelos de Dunkerque y Greenwich, la cual es de 25241,9 toesas, da 26’ 32,3’’ como diferencia de latitud, promediando los tres aplastamientos previstos. Tras deducir esta cantidad a partir de 51º 28’ 40’’, la supuesta latitud de Greenwich, se mantienen los 51º 2’ 7,7’’ u 8’’, para la de la torre de Dunkerque. Si a partir de ello deducimos nuevamente el arco calculado 2º 11’ 23,5’’, tenemos 48º 50’ 44,5’’ para la latitud del Panteón, mientras que según las observaciones del Sr. DELAMBRE es 49,37’’, o 48,35’’ según las del Sr. MECHAIN. Aunque tan variadas circunstancias como tiempo desfavorable y otras relacionadas con la revolución, de las cuales se quejó con mucha razón el Sr. DELAMBRE, han podido ocasionar alguna incertidumbre con respecto a las observaciones en Dunkerque, con todo las numerosas observaciones realizadas en París, por él y por el Sr. MECHAIN, en una época del año más favorable, y en tiempos de suma tranquilidad, hacen totalmente intolerable la suposición de que exista un error de 4 segundos en la latitud del Panteón. Sin embargo, es demasiado verdad que tales errores son posibles y que solamente son la cuidadosa perseverancia y la repetida verificación las que permiten descubrirlos y eliminarlos, como hemos visto que es muy probable que ocurra en la estación de Arbury Hill.

No obstante, el mismo celebrado observador, Sr. MECHAIN, que manejó instrumentos con gran delicadeza y estaba especialmente capacitado para este tipo de observaciones, nos ha dado un ejemplo de singular irregularidad en la observación realizada en Montjüic y en Barcelona.

La latitud de Montjüic, determinada tras una larguísima y regular serie de observaciones, es justo 3,24’’ menor que la deducida a partir de una serie similar de observaciones efectuadas en Barcelona, con instrumentos totalmente idénticos y con iguales precauciones. No obstante, hay razones para pensar, basándose en otras observaciones, que la latitud de Barcelona (la cual supone que es de 45’’) debe disminuirse todavía un segundo más, de modo que la diferencia entre las observaciones en Montjüic y Barcelona aumentará probablemente hasta alcanzar los 4’’. Se supone que han sido las atracciones locales las que han causado esa irregularidad; pero entonces la latitud, tal como fue deducida por las observaciones hechas en Barcelona, debería haber sido menor que la obtenida mediante las observaciones realizadas en el propio Montjüic; puesto que la desviación de la vertical (o de la burbuja del nivel) solamente podría ser ocasionada por la pequeña cadena montañosa de 120 o 130 toesas de altitud, que pasa por el Norte de Barcelona en dirección Noreste. Dado que las desviaciones con ese origen serían hacia el Norte, la distancia cenital de las estrellas circumpolares aumentaría por tal desviación y consecuentemente la latitud así deducida debería disminuir mucho más. Pero ocurre lo contrario; la latitud de Montjüic deducida de las observaciones en Barcelona es 48,23’’, mientras que la obtenida por las observaciones directas en Montjüic es solamente 45’’. Por lo que parece probable, que la causa de la irregularidad deba buscarse en otro lugar, y que no es probable que sea descubierta sin repetir otra vez las mismas observaciones.

Por otra parte no debe colegirse que las latitudes de dos lugares sean correctas, porque las declinaciones de las estrellas deducidas a partir de ellas se correspondan; ya que las desviaciones causadas por la atracción local, o por cualquier otro efecto, desaparecen al corregir la declinación, pero permanecen sin corregir en cada una de las latitudes.

El T.C. MUDGE es también de la opinión de que la irregularidad en el valor de su grado puede ser achacada a la desviación de la línea de la plomada, ocasionada por atracciones locales. Ciertamente, esto es muy posible y puede deducirse por un examen de todas las circunstancias del lugar. Pero si realmente hay un error de 1'' en la extensión total del arco, esta debería atribuirse a algún defecto de las propias observaciones, más que a alguna fuente ajena a las mismas; ya que las observaciones de las diferentes estrellas proporcionan resultados que difieren entre si más de 4 segundos.

Concluiré ahora esta Memoria, expresando un deseo, que más que nadie puede ser satisfecho por los hombres de ciencia ingleses; me gustaría realizar nuevas medidas en el hemisferio Sur. Aquellas que han sido efectuadas en el hemisferio Norte son extremadamente satisfactorias por su concordancia, y nos dan un gran soporte para presumir que el nivel general de la superficie terrestre es elipsoidal, además de extraordinariamente regular; por lo que podríamos esperar que el hemisferio opuesto sea homólogo, y forme parte de la misma curva. Sin embargo el grado medido en el Cabo de Buena Esperanza por LA CAILLE, a una latitud de 33º 18', hace pensar en una elipse de menor excentricidad, o de mayor eje; ya que una extensión lineal de 57037 toesas corresponde a la medida de un grado, en una latitud de 47º 47', en el hemisferio Norte. Si calculamos ahora el arco anterior, con un aplastamiento de 1/320, y con los lados de los triángulos de LA CAILLE educidos al meridiano, hallamos que excede en 10'' al que se dedujo mediante las observaciones a las estrellas. Un error de 10 segundos, para un astrónomo tan hábil y cuidadoso como LA CAILLE, es demasiado extraordinario para ser admitido como probable. Es cierto que hubo un error mayor bien comprobado que se produjo en la medición de Laponia, alcanzando los 13 segundos; pero es que los académicos encargados del proyecto no estaban tan familiarizados con las observaciones como LA CAILLE.

Falta por tanto un método para eliminar todas las dudas al respecto, y es repetir y verificar la medición en el Cabo, y, si fuera posible, extenderla aún más hacia el Norte. El mismo M. LAMBTON, que tanto éxito ha tenido en Asia, y posee tan buen instrumental a ese propósito, estaría especialmente cualificado para una operación similar en Africa, pudiendo proporcionarnos una medida en el otro hemisferio, que pudiera ser enlazada con la anterior. A él le cabría el honor de deducir dos importantes cuestiones por medio de sus propias observaciones; en primer lugar la semejanza y magnitud de los dos hemisferios y en segundo, el grado de confianza que debe asignársele a la hipótesis elíptica.

Aún sería más deseable que se llevasen a efecto mediciones en Nueva Holanda o en Brasil, ya que, aunque ninguna de las dos tienen una latitud muy diferente de la del Cabo de Buena Esperanza, tiene una longitud tan distinta, que la correspondencia entre las medidas así realizadas implicaría la semejanza de todos los meridianos.

Explicaré ahora las fórmulas empleadas al deducir los resultados a que he llegado en la anterior Memoria. Su demostración puede encontrarse en el trabajo sobre el Meridiano, debido al Sr. DELAMBRE.

En primer lugar, sea a el radio del ecuador, e la excentricidad, ? la latitud de un extremo de un lado, o arco, de una serie de triángulos, y ? el acimut de ese lado. El radio de curvatura de este arco viene dado por

Por lo que vemos que R es el radio de curvatura del arco perpendicular al meridiano. Generalmente puede despreciarse el acimut y considerar que R₁ coincide con R. Ahora bien, al calcular el arco entre Clifton y Dunnose, he supuesto que el achatamiento era 1/330 o e² = 660/330², y log a = 6,5147200 expresado en toesas.

La latitud del extremo meridional de la base es la misma que la de Clifton, y su acimut, si decidimos tenerlo en cuenta, es aproximadamente 335º 23'. Esta base, considerada como un arco circular, se reduce a su seno por la fórmula ? = log ? - K ?²/ 6 R². (Siendo K el módulo de la tabla de logaritmos, de modo que log K = 9,63778439). Por medio del logaritmo seno de las bases y los ángulos de los triángulos, considerados como esféricos, calcularemos los logaritmos senos de los lados, para después reducir a los logaritmos de los arcos propiamente dichos, por la fórmulalog ? = log sen ? + (K sen² ?)/ 6R².

Con el propósito de hacer esta reducción, es suficiente tomar un solo valor de R, el correspondiente a la latitud media de todo el arco 52º 2' 20''. De ahí que se formara la tabla con los logaritmos senos considerados como arcos. Sea m uno de estos arcos, y representemos por ?? y ??´´, sus valores reducidos al meridiano, el uno en toesas y el otro en segundos de grado, tendremos así las siguientes fórmulas:

el signo superior se toma cuando la latitud ?´´ es mayor que tang ?, y el inferior cuando es menor.

De aquí que el acimut de la primera estación vista desde la segunda y contado hacia el Oeste desde el Norte, sea ?´ = 180º + ? + ??.

Si designamos con P´´ a la diferencia de longitudes entre dos puntos separados por un arco cuyo desarrollo es m, tenemos:

El arco del meridiano, entre Greenwich y Formentera, está tan estratégicamente situado, que su punto medio está a una latitud 45º. La medida de su amplitud 12º 48' 44'', y la distancia entre los paralelos, en medida lineal, de 730430,7 toesas ya fueron determinadas. Por lo que el grado medio, correspondiente a la latitud de 45º 4' 18'', es de 57010,5 toesas; y si multiplicamos ese número por 90º, obtenemos la cuarta parte del meridiano de la Tierra.

La corrección, dependiente del aplastamiento, es de 58, 59 o 60 toesas, según se adopte como valor 1/330, 1/320 o 1/310, y si efectuamos la media de ellos, tenemos que la cuarta parte del meridiano es Q = 5130886 toesas; y como el metro es igual a 44330867 líneas, resultará que el metro casi es independiente de la forma elíptica de la Tierra.

vemos porqué la más mínima variación en los elementos de la función p, ocasionan tan considerable variación en el denominador del aplastamiento. Esto es precisamente lo que ocurre a las ecuaciones lunares dependientes de la figura de la Tierra, las cuales ha deducido Laplace en su bella teoría. Así, por ejemplo, en la desigualdad que depende de la longitud del nodo lunar, que ha sido determinado analíticamente con tanta precisión, el coeficiente numérico hallado por BURG permite hallar un aplastamiento de 1/305, en cambio si este coeficiente se disminuye en 0,665'' el aplastamiento se transforma en 1/320, de manera que una variación igual a esta pequeña cantidad en el coeficiente aumenta el denominador del aplastamiento cerca de 1/20 de parte.

Lo mismo sucede con relación al péndulo que bate segundos, pues suponiendo que su longitud a 45º haya sido correctamente determinada por los Sres BIOT y MATHIEU, si deseamos saber la longitud de un péndulo de segundos en el ecuador, correspondiente a un aplastamiento de 1/320, hallamos que sería 439,1810 líneas. En cambio esta longitud difiere de la determinada por BOUGUER en solo 0,029 de línea, y el Sr. LAPLACE piensa incluso que el resultado de BOUGUER debería disminuirse en el doble de esta cantidad. Vemos por tanto como muchas de esas pequeñas diferencias, sean producidas por errores de observación, o por las propias irregularidades de la Tierra, son capaces de afectar al denominador de la fracción que expresa el aplastamiento.

RUIZ MORALES, M. Comunicación de J. Mendoza a la Royal Society en junio de 1812 dando cuenta de un estudio geodésico realizado por J. Rodríguez. Biblio 3W. Revista Bibliográfica de Geografía y Ciencias Sociales, Universidad de Barcelona, vol. X, nº 557, 5 de enero de 2005. <http://www.ub.es/geocrit/b3w-557.htm>

Nombres de las Estaciones Clifton Heathersedge Orpit Castlering Corley Epwell Stow Whitehorse Highclere Dean Hill Dunnose Suma Total	Arcos en toesas 0,0 6834,324 15818,489 19801,1934 14925,384 22327,008 9555,479 18799,645 14990,567 16105,614 23529,886	Arcos en Segundos 0,0 430,9928 997,5928 1248,8226 901,6207 1408,2543 602,784 1185,8656 945,6354 1016,0180 1484,4531
	162057,5437	10221,9837

Nombre de las Estaciones Clifton Gringley Sutton Holland Hill Bardon Hill Arbury Hill Brill Nuffield Bagshot Hindhead Butser Hill Dunnose Suma Total	Arcos en Toesas 0,0 2809,105 10838,816 4681,190 18092,261 27956,417 22374,106 14350,3834 12137,933 14449,2027 7853,644 20514,036	Arcos en Segundos 0,0 177,149 1061,931 295,2251 1141,0462 1763,2683 1411,2769 905,2155 765,6822 911,5140 495,4551 1294,1974
	162057,0941	10221,9607