2ª. Centro de la esfera es un punto del cual todas las rectas tiradas hasta la superficie esférica son iguales y se dicen radios de la esfera.

3ª. Diámetro de la esfera es cualquier punto que pasando por el centro se termina en la superficie esférica. Los diámetros son infinitos y todos iguales por componerse de dos radios.

4ª. Eje de la esfera es el diámetro inmoble sobre quien se mueve la esfera.

5ª. Polos de la esfera son los extremos del eje.

6ª. Círculo máximo de la esfera es cualquiera que pasa por el centro y la divide en dos hemisferios iguales. Los círculos máximos son infinitos, todos iguales y tienen por centro el de la esfera, dícense máximos porque en la esfera no puede haber otros mayores.

7ª. Círculo menor es aquel cuyo plano no pasa por el centro de la esfera y por consiguiente la divide en dos partes desiguales.

8ª. Círculos paralelos son aquellos cuyos planos son entre sí paralelos: cualquier círculo máximo puede tener infinitos paralelos que serán tanto menores cuanto más disten del círculo máximo.

9ª. Círculos entre sí perpendiculares son aquellos cuyos planos se cortan perpendicularmente.

10ª. Círculos entre sí inclinados son aquellos cuyos planos son entre sí inclinados o se cortan oblicuamente.

11ª. Nodos o secciones son dos puntos en la superficie de la esfera donde se cortan dos círculos máximos. Si los círculos CGD, CBD (figura 1ª) se cortan en C y D serán éstos los nodos o secciones.

12ª. Eje de un círculo es la recta que pasando por el centro del círculo y de la esfera, es perpendicular a su plano. Si la recta CD es perpendicular al plano del círculo máximo GSH y pasa por el centro, A será su eje, también será eje del círculo menor MN si es perpendicular a su plano y pasa por su centro Z y por el centro A de la esfera.

13ª. Polos de un círculo son los extremos de su eje, y así los puntos C, D, son polos del círculo máximo GSH, y de todos sus paralelos.

14ª. Ángulo esférico es el que forman dos círculos máximos como el ángulo FCB, su medida es el arco de otro círculo máximo comprendido entre ellos de quien es polo el dicho ángulo, y así supuesto que C sea el polo del círculo máximo GSH, será el arco GS medida del ángulo FCB y también SH será medida del ángulo BCN. El plano del círculo GSH es perpendicular a los planos de los círculos máximos que pasan por el polo C.

15ª. Triángulo esférico es el formado en la superficie de la esfera por tres arcos de círculos máximos como CBF, los demás no se consideran.
 
 

2ª. Los ángulos formados en la sección de dos círculos como FCB, BCL (Fig. 1ª), o son rectos o iguales a dos rectos, porque tienen por medida el semicírculo GSH.

3ª. Los ángulos verticalmente opuestos son iguales: se infiere del antecedente.

4ª. El ángulo formado en la sección de dos círculos es igual a la distancia entre sus polos: sea L polo del círculo FBE, y H polo del círculo CAD, será el arco LH medida del ángulo BAC porque si de los cuadrantes LF, HC, se quita el arco común LC será LH = CF, pero CF es medida del ángulo BAC (por ser el punto A polo del círculo FCL) luego LH, distancia entre los dos polos, es medida del ángulo BAC.

5ª. Si un círculo CLD pasa por el punto L, polo del círculo EBF, pasará este círculo por el punto A, polo del círculo FCL, y estos dos círculos serán entre sí perpendiculares.
 
 

1º. En cualquier triángulo esférico, cualquier lado es menor que el semicírculo

2º. Cualesquiera dos lados juntos son mayores que el tercero.

3º. Los tres lados juntos son menores que un círculo entero.

4º. El mayor lado se opone al mayor ángulo y al contrario.

5º. Los tres ángulos juntos son mayores que dos rectos y menores que seis.

6º.Pueden ser los tres ángulos rectos, uno recto y dos obtusos, dos rectos y un obtuso, o todos tres obtusos.

7º. En cualquier triángulo ABC (fig. 2ª) alargada la base AC, si los dos lados AB, BC, juntos son iguales al semicírculo, el ángulo externo BCD, será igual al interno A; si dichos lados son mayores que el semicírculo, el ángulo externo será menor que el ángulo A, y si son menores que el semicírculo, el ángulo externo será mayor que el ángulo A.

8º. El ángulo externo BCD, siempre es menor que los dos internos y opuestos AB.
 
 

2º. Si el ángulo vertical no es polo de la base, el perpendículo dividirá a la base y ángulo vertical en dos partes iguales y al contrario.

3º. Si los lados son cuadrantes, los ángulos sobre la base serán rectos, si son mayores que cuadrantes los ángulos serán obtusos, y si menores serán agudos.
 
 

2º. Si los tres ángulos del uno son iguales a los tres del otro, cada uno al suyo.

3º. Si los dos lados y un ángulo comprendido son iguales a los dos del otro.

4º. Si un lado y los ángulos adyacentes son iguales a los del otro.

5º. Si dos lados y un ángulo opuesto fueren iguales a los del otro, con tal que los otros dos ángulos opuestos sean de una misma especie, pero no rectos.

6º. Si dos ángulos y un lado opuesto fueren iguales a los del otro, con tal que los otros dos lados opuestos sean de una misma especie, pero no cuadrantes.
 

7º. Si dos triángulos tienen los dos lados del uno iguales a los dos del otro, el que tuviere mayor ángulo comprendido tendrá mayor base.
 
 

2º. La hipotenusa será cuadrante si los dos lados que comprenden el ángulo recto, o a lo menos uno, fuere cuadrante; o bien si dos ángulos fueren rectos.

3º. La hipotenusa será menor que el cuadrante si los lados son de una misma especie pero no cuadrantes, o bien si los ángulos adyacentes a la hipotenusa fueren de una misma especie, pero no rectos.

4º. La hipotenusa será mayor que el cuadrante si los ángulos adyacentes fueren de diversa especie, pero ninguno recto, o bien si los lados son de diversa especie, pero ninguno cuadrante.
 
 

2º. Si los ángulos sobre la base son agudos y desiguales, el mayor segmento de la base y del ángulo vertical hechos por el perpendículo son contérminos al lado mayor y al contrario si los ángulos sobre la base son obtusos.

3º. En el triángulo acutángulo cada lado es menor que el cuadrante.

4º. Si un triángulo oblicuángulo tiene dos ángulos agudos desiguales, el lado opuesto al menor será menor que el cuadrante; si tiene dos ángulos obtusos, el lado opuesto al mayor será mayor que el cuadrante; si los tres lados son mayores que cuadrantes o bien dos son mayores y uno cuadrante, los tres ángulos serán obtusos.
 
 

1º. En el triángulo ABC (fig. 3ª) rectángulo en A si el lado AB se alarga hasta D polo de la base AC, y se tira el arco DC, serán DA, DC, cuadrantes, y se tendrá el triángulo CBD en el cual el lado BC es común a entrambos, BD es complemento de BA, DC por ser cuadrante es igual al ángulo recto A, el ángulo D es igual al arco AC su medida; el ángulo CBD es suplemento a dos rectos del ángulo CBA, el ángulo BCD es complemento al cuadrante del ángulo BCA, por ser ACD recto.

2º. En cualquier triángulo ABC (Fig. 4ª) continuados los lados AB, AC, hasta concurrir en D, serán ABD, ACD, semicírculos y se tendrá el triángulo BDC común a entrambos, el arco BD es suplemento de AB, y CD suplemento de AC, el ángulo D igual a A, el ángulo CBD suplemento de ABC, y el ángulo BCD suplemento de ACB.

3º. Dado cualquier triángulo ABC (fig. 5ª) en los polos de sus arcos, esto es, en los puntos N y O, polos del arco AC en los puntos E y F, polos del arco AB y en el punto P polo del arco BC, se forman cuatro triángulos FOP, OEP, EPN y NPF y en cada uno de los tres primeros se tienen dos lados iguales a dos ángulos del triángulo ABC y el otro lado es suplemento a dos rectos del otro triángulo, pero en el cuarto triángulo NPF cada lado es suplemento a dos rectos de cada ángulo del triángulo ABC porque si de los cuadrantes VO, PS se quita el arco VP, quedará PO = VS, pero VS es medida del ángulo C, por ser CV, CS cuadrantes luego PO = al ángulo C, y por consiguiente PN suplemento de PO lo será también del ángulo C; así mismo si de los cuadrantes EX, PT, se quita PX será EP = XT, pero XT es medida del ángulo B, por ser BX, BT cuadrantes, luego EP es igual al ángulo B y por consiguiente PF será suplemento del ángulo B; finalmente si de los cuadrantes LF, KO se quita KF, quedará OF = KL, y siendo LK = al ángulo A, también lo será OF y por consiguiente FN será suplemento del ángulo A, luego los tres lados del triángulo NPF son suplementos de los tres ángulos del triángulo ABC. También se demuestra que los tres ángulos del triángulo NPF son suplementos de los tres lados del triángulo ABC.

En cuanto a los tres primeros triángulos se verá que en el triángulo FOP se tiene OF igual al ángulo A y OP igual al ángulo C y PF suplemento a dos rectos del ángulo B. En el triángulo PEN se tiene EP igual al ángulo B, EN = OF igual al ángulo A, y PN suplemento a dos rectos del ángulo C; en el triángulo OPE se tiene PO = al ángulo C, PE = al ángulo B, y el arco OE siendo suplemento de OF, lo será también del ángulo A.
 

1º. Los senos de las hipotenusas AE, AC, son proporcionales con los senos de los perpendículos CD y ED, esto es, como el seno de AC : seno de CB, así el seno de AE igual al radio : al seno de ED, igual al ángulo A.

2º. Los senos de las bases AB, AD son proporcionales con las tangentes de los perpendículos CD, ED, esto es, como el seno de AB : la tangente de CB, así el seno de AD igual al radio : la tangente de ED igual al ángulo A.

En estas dos propiedades se funda la resolución del triángulo rectángulo para lo cual, además del triángulo propuesto ABC llamado proporcional, se supone otro triángulo EAD llamado el principal, que tenga un ángulo A común y los lados AD, AE cuadrantes; se han de dar tres cosas conocidas ya sean tres ángulos o ya tres lados; dos ángulos y un lado o dos lados y un ángulo, observando la especie del lado o ángulo que se busca y en caso que haya ambigüedad, además de los tres datos, se ha de dar conocida la especie que se busca como se dirá en su lugar.

El triángulo cuadrantal se reduce a su rectángulo, convirtiendo los lados en ángulos, como se dijo en los triángulos sustitutos.

En el triángulo isósceles rectángulo PBD cuyos ángulos sobre la base BD son rectos y los lados PD y PB cuadrantes, no se puede resolver aunque se de la especie del ángulo P o de la base BD que es su medida; pero si se tiene el ángulo P se tendrá la base o al contrario.
 
 

Caso 1º. Dada la hipotenusa RC y un lado CK hallar el ángulo opuesto R.

Como el seno de la hipotenusa RC : radio, así el seno del lado CK : seno del ángulo opuesto R; esto es, en los triángulos RCK, RDG son proporcionales como el seno de RC al seno de RD, así el seno de CK al seno de DG.

Caso 2º. Dada la hipotenusa RC y el ángulo oblicuo R hallar el lado opuesto CK.

Como el radio : seno de la hipotenusa RC, así el seno del ángulo R : seno del lado opuesto CK ; es en los mismos triángulos invirtiendo los términos.

Caso 3º. Dados los dos lados RK, CK, hallar cualquier ángulo oblicuo R.

Como el seno del lado adyacente RK : al radio, así la tangente del lado opuesto CK es a la tangente del ángulo R ; esto es, en los mismos triángulos el seno de RK : al seno de RG como la tangente de CK : a la tangente de GD.

Caso 4º. Dado un lado RK, y el ángulo adyacente R, hallar el lado opuesto CK.

Como el radio : seno del lado adyacente RK, así la tangente del ángulo R : a la tangente del lado opuesto KC. Es inversa de la antecedente.

Caso 5º. Dado un ángulo oblicuo R, y el lado opuesto CK hallar el otro lado RK, sabiendo si ha de ser mayor o menor que cuadrante.

Como la tangente del ángulo R : a la tangente del lado opuesto CK, así el radio : al seno del lado RK. Es la misma analogía que la antecedente mudando la primera razón en segunda.

Caso 6º. Dado un ángulo oblicuo R, y el lado opuesto CK, hallar la hipotenusa RC, sabiendo si ha de ser mayor o menor que cuadrante.

Como el seno del ángulo R : al seno del lado opuesto CK, así el radio : al seno de la hipotenusa. Es la misma analogía del caso segundo mudando la primera razón en segunda.

Caso 7º. Dada la hipotenusa RC, y un lado CK, hallar el otro lado RK.

Como el seno segundo de CK : al radio, así el seno segundo de la hipotenusa RC : al seno segundo de RK. Esto es, en los triángulos ADC, AGK, como el seno de AC : el seno de AK, así el seno de CD : seno de KG.

Caso 8º. Dados los lados CK, RK, hallar la hipotenusa RC.

Como el radio: al seno segundo de cualquier lado CK, así el seno segundo del otro lado RK : al seno segundo de la hipotenusa RC; esto es, en los mismos triángulos ADC, AGK, como el seno de AK : al seno de AC, así el seno de KG : al seno de CD.

Caso 9º. Dado un lado RK, y el ángulo adyacente R, hallar la hipotenusa RC.

Como el radio : al seno segundo del ángulo R, así la tangente segunda del lado RK : a la tangente segunda de la hipotenusa RC; esto es, en los mismos triángulos ADC, AGK, el seno de AG : al seno de AD, como la tangente de GK : a la tangente de CD.

Caso 10º. Dado el lado CK y el ángulo adyacente C, hallar el otro ángulo R.

Como el radio : al seno segundo del lado CK, así el seno del ángulo C : al seno segundo del ángulo R; esto es, en los triángulos ADC,SCV, como el seno de CV : al seno de CA, así el seno de VS : al seno de AD.

Caso 11º. Dados los ángulos oblícuos C y R, hallar cualquier lado CK.

Como el seno del ángulo adyacente C : al seno segundo del ángulo opuesto R, así el radio : al seno segundo del lado CK; esto es, en los triángulos antecedentes, el seno de VS : al seno de AD como el seno de CV : al seno de AC.

Caso 12º. Dados los ángulos oblicuos C y R, hallar la hipotenusa RC.

Como la tangente de cualquier ángulo C : a la tangente segunda del otro ángulo R, así el radio : al seno segundo de la hipotenusa RC: esto es, en los triángulos del caso 10º, la tangente de VS : a la tangente de AD, así el seno de SC : al seno de CD.

Caso 13º. Dada la hipotenusa RC y el ángulo oblicuo C, hallar el otro ángulo R.

Como el radio : al seno segundo de la hipotenusa RC, así la tangente del ángulo C : a la tangente segunda del ángulo R; esto es, en los triángulos del caso 10º, el seno de CS : al seno CD como la tangente de VS : a la tangente de AD.

Caso 14º. Dado un lado CK y el ángulo opuesto R, hallar el otro ángulo C (sabiendo si ha de ser agudo u obtuso).

Como el seno segundo de CK : al radio, así el seno segundo del ángulo R : al seno del ángulo C; esto es, en los mismos triángulos, el seno de AC : al seno de CV, como el seno de AD : al seno de VS.

Caso 15º. Dada la hipotenusa RC y un lado CK, hallar el ángulo comprendido C.

Como la tangente de la hipotenusa RC : a la tangente de CK, así el radio : al seno segundo del ángulo comprendido C; esto es en los triángulos PVA, PSD, la tangente de SD : a la tangente de VA como el seno de PS : al seno de PV.

Caso 16º. Dada la hipotenusa RC y el ángulo oblicuo C, hallar el lado adyacente CK.

Como el radio : al seno segundo del ángulo C, así la tangente de la hipotenusa RC : a la tangente del lado CK; esto es, en los triángulos antecedentes, el seno de PS : al seno de PV como la tangente de SD : a la tangente de VA.
 
 

Sirve este principio cuando se dan los tres lados o bien los tres ángulos, sustituyendo en este caso los ángulos en lados, tomando el suplemento de cada uno para tener los lados del triángulo NPF, formado en los polos del propuesto.

2º. En cualquier triángulo esférico ABC los senos de los lados son proporcionales con los senos de los ángulos opuestos, esto es, el seno del lado AB : al seno del ángulo opuesto C, como el seno del lado AC : al seno del ángulo opuesto B y también alternando invirtiendo, etc.

En este principio se funda la resolución, cuando dados dos lados y un ángulo opuesto se busca el otro ángulo opuesto, o bien si dados dos ángulos y un lado opuesto se busca el otro lado opuesto.

3º. En cualquier triángulo oblicuángulo ABC, si de cualquier ángulo vertical A se baja sobre la base, el perpendículo AD (alargado si fuera necesario) formará con los lados dos ángulos verticales cuyos senos principales o primeros son proporcionales con los senos segundos de los ángulos sobre la base; esto es, el seno del ángulo CAD : al seno del ángulo BAD, como el seno segundo del ángulo ACB : al seno segundo del ángulo ABC.

4º. También los senos segundos de los ángulos verticales son proporcionales con las tangentes segundas de los lados; esto es, el seno segundo de CAD : al seno segundo del ángulo BAD, como la tangente segunda del lado AC : a la tangente segunda del lado AD.

5º. Los senos segundos de los segmentos son proporcionales con los senos segundos de los lados;esto es, el seno segundo de BD : al seno segundo de CD, como el seno segundo de AB : al seno segundo de AC.

6º. También los senos primeros de los segmentos de la base son proporcionales con las tangentes segundas de los ángulos sobre la base contérminos a los segmentos; esto es, el seno de BD : al seno de CD, como la tangente segunda del ángulo ABC : a la tangente segunda del ángulo ACB.

7º. También las tangentes de los ángulos verticales son proporcionales con las tangentes de los segmentos de la base; esto es, como la tangente del ángulo BAD : a la tangente del ángulo CAD, así la tangente del segmento BD : a la tangente del segmento CD.

En estos cinco últimos principios se funda la resolución del triángulo oblicuángulo; en todos los demás casos reduciéndole a dos rectángulos por medio de un perpendículo, observando siempre que caiga de tal ángulo que se tengan los datos suficientes para hallar los ángulos verticales o los segmentos de la base, atendiendo si cae dentro o fuera del triángulo y así a que parte, a fin de tomar la suma o diferencia de los ángulos verticales o de los segmentos de la base.

Escríbanse los complementos logarítmicos de los senos de los lados AB, AC, que comprenden el ángulo A que se busca, súmense los tres lados y tomando la mitad, réstese de ella el lado AB y escríbase el logaritmo del seno de la diferencia, réstese también de la misma suma el lado AC, y escríbase el logaritmo de la diferencia; súmense los cuatro logaritmos y sacando la mitad, se tendrá el seno de la mitad del ángulo A y su duplo será el valor de todo el ángulo. Fúndase en el principio primero.
 

Sea   AB = 60º     C.L.= 0,0624694
        AC = 70º      C.L.= 0,0270142
        BC = 80º
-----------------------------------------------
SUMA  = 210º
SEMISUMA = 105º
 

DIFERENCIA DE AB = 45º............. 9,8494850

DIFERENCIA DE AC = 35º............. 9,7585913
                                                        ---------------
SUMA..............................                19,6975599

SEMISUMA 44º 54' Y 1/2.......          9,8487795

Y SERÁ EL ÁNGULO A = 89º 49'

Caso 2º. Dados los tres ángulos hallar cualquier lado AB.

Tómese el suplemento de cada ángulo y se tendrán tres lados del triángulo equivalente NPF, hállese por el caso antecedente el valor del ángulo F cuyo suplemento a 180º dará el valor del lado AB.

Caso 3º. En el triángulo oblicuángulo ABC dados los lados AB, BC y un ángulo opuesto C, hallar el otro ángulo opuesto A, sabiendo si ha de ser agudo u obtuso.

Como el seno de AB : al seno del ángulo opuesto C, así el seno de BC :al seno del ángulo opuesto A. Consta del principio segundo.

Caso 4º. Dados los ángulos A, C y el lado opuesto AB, hallar el otro lado opuesto BC, sabiendo si ha de ser mayor o menor que cuadrante.

Como el seno del ángulo C : al seno del lado AB, así el seno del ángulo A : al seno del lado BC. Es inversa de la antecedente.

Caso 5º. Dados los ángulos A,B, (fig. 7ª) y el lado comprendido AB, hallar el otro ángulo C.

Para éste y los siguientes casos se baja un perpendículo AD y se necesitan dos analogías. Primera, como el radio : al seno segundo de AB, así la tangente del ángulo ABC : a la tangente segunda de BAD; conocido BAD se tendrá CAD. Segunda, como el seno del ángulo BAD : al seno del ángulo CAD, así el seno segundo del ángulo ABC : al seno segundo del ángulo ACB.

Caso 6º. Dados dos lados AB, AC y el ángulo opuesto B, hallar el ángulo comprendido BAC.

Primera, como el radio : al seno segundo de AB, así la tangente del ángulo ABC : a la tangente segunda de BAD. Segunda, como la tangente segunda de AB : a la tangente segunda de AC, así el seno segundo de BAD : al seno segundo de CAD. Conocidos BAD, CAD se tendrá BAC.

Caso 7º. Dados los ángulos B, C y el lado opuesto AB, hallar el otro ángulo A sabiendo si ha de ser agudo u obtuso.

Primera, como el radio : al seno segundo de AB, así la tangente ABC : a la tangente segunda de BAD. Segunda, como el seno segundo de ABC : al seno segundo de ACB, así el seno de BAD : al seno de CAD. Conocidos BAD, CAD se tendrá BAC.

Caso 8º. Dados los lados AB, BC y el ángulo comprendido B, hallar el ángulo C.

En este caso el perpendículo ha de caer del lado opuesto al ángulo que se busca. Primera, como el radio : al seno segundo de ABC, así la tangente de AB : a la tangente de BD. Conocido BD y BC se tendrá CD. Segunda, como el seno de BD : al seno de CD, así la tangente segunda de ABC : a la tangente segunda de ACB.

Caso 9º. Dados dos lados AB, BC, y el ángulo comprendido B, hallar el otro lado CA.

Primera, como el radio : al seno segundo de ABC, así la tangente de AB : a la tangente de BD. Conocidos BC y BD se tendrá CD. Segunda, como el seno segundo de BD : al seno segundo de CD, así el seno segundo de AB : al seno segundo de AC.

Caso 10º. Dados dos ángulos B,C, y el lado opuesto AB, hallar el lado comprendido BC, sabiendo si ha de ser mayor o menor que cuadrante.

Primera, como el radio : al seno segundo de ABC, así la tangente de AB : a la tangente de BD. Segunda, como la tangente segunda de ABC : a la tangente segunda de ACB, así el seno de BD : al seno de CD. Conocidos BD y CD se tendrá BC.

Caso 11º. Dados los lados AB, AC y el ángulo opuesto B, hallar el otro lado BC.

Primera, como el radio : al seno segundo de ABC, así la tangente de AB : a la tangente de BD. Segunda, como el seno segundo de AB : al seno segundo de AC, así el seno segundo de BD : al seno segundo CD. Conocidos BD y CD se tendrá BC.

Caso 12º. Dado un lado AB y los ángulos adyacentes A, B, hallar cualquier lado AC. En este caso el perpendículo se ha de bajar del ángulo dado adyacente al lado que se busca.

Primera, como el radio : al seno segundo de AB, así la tangente de ABC : a la tangente segunda de BAD. Conocidos BAC, BAD se tendrá CAD.

Segunda, como el seno segundo de BAD : al seno segundo de CAD, así la tangente segunda de AB : a la tangente segunda de AC.

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